Cute Rocking Baby Monkey paulus aan: MENENTUKAN LUAS BIDANG DATAR YANG DIBATASI KURVA DENGAN INTEGRAL TENTU

welcome

..selamat datang diblog paulus aan..

Sabtu, 09 Februari 2013

MENENTUKAN LUAS BIDANG DATAR YANG DIBATASI KURVA DENGAN INTEGRAL TENTU


BAB I
PENDAHULUAN
A.    Latar Belakang
Dalam matematika , untuk bidang datar yang bentuknya beraturan, dalam menentukan luas tidak menjadi persoalan sama sekali, hal ini dikarenakan pada bangun datar yang beraturan telah diketahui dengan baik rumus untuk perhitungan bangun datar tersebut, contoh : luas persegi panjang, persegi, dan bangun datar lainnya. Akan tetapi, ketika kita harus meninjau suatu bangun datar yang bentuknya tidak beraturan , masalah penentuan luas menjadi lebih sulit, karena tidak bisa dicari dengan menggunakan geometri, akan tetapi jika f dan g adalah sebarang fungsi kontinu, kita mencari luasnya dengan menggunakan integral. contohnya luas daerah dibawah kurva y = x2 + 5x ; 0 ≤ x ≤  2.
Oleh karena itu, tulisan dalam makalah  ini akan memperkenalkan suatu metode yang membantu dalam menentukan luas  bidang datar  tidak beraturan yang dibatasi kurva dengan integral tentu  .

B.     Masalah
Adapun masalah dalam pembahasan ini yaitu : Bagaimana mencari luas  bidang datar   tidak beraturan yang dibatasi kurva dengan integral tentu  ?

C.    Tujuan
Adapun tujuan penulisan makalah ini adalah untuk menentukan luas bidang datar tidak beraturan yang dibatasi kurva dengan integral tentu.

D.    Manfaat
Makalah ini dapat dijadikan referensi untuk mempermudah dan mempercepat mencari luas bidang datar tidak beraturan yang dibatasi kurva dengan integral tentu, baik bagi mahasiswa maupun kalangan pelajar lainnya..






BAB II
PEMBAHASAN

A.    Dasar Teori
Integral merupakan kebalikan dari proses diferensiasi. Integral ditemukan menyusul di-temukannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagai-mana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi.
Integral terbagi dua yaitu integral taktentu dan integral tertentu. Perbedaanyang mendasar, integral tertentu memiliki batas-batas.
1.      Integral tak tentu adalah suatu bentuk operasi pengintegralan suatu fungsi yang menghasilkan suatu fungsi baru. fungsi ini belum memiliki nilai pasti (berupa varia-bel) sehingga cara pengintegralan yang menghasilkan fungsi tak tentu ini disebut integral tak tentu.
Jika F adalah anti turunan dari f, maka:
      
       
      
      
     

2.      Integral tertentu adalah suatu bentuk operasi pengintegralan suatu fungsi pada batas (selang) tertentu dan menghasilkan nilai pasti.
Jika F adalah anti turunan dari f, maka:
.
f(x) disebut integran, a disebut batas bawah dan b disebut batas atas, F(b) / F(a) adalah nilai
Fungsi hasil integral untuk  x = a atau x = b.
B. Menghitung Luas Daerah yang dibatasi Kurva dengan Integral Tentu       
Luas suatu daerah dapat dihitung dengan cara menggeser/menggerakan garis (x atau y) terhadap sumbu hingga menutupi daerah yang dimaksud.
Jika garisnya sejajar sumbu y maka bergeraknya sepanjang sumbu x : , dan jika garisnya sejajar sumbu x maka bergeraknya sepanjang sumbu y:
rumus dasar luas daerah
Batas-batasnya  ada pada sumbu-x
  
Batas-batasnya  ada pada sumbu-y
atau

Berikut beberapa kemungkinan kurva yang akan dicari luas daerahnya.
1.      Luas daerah yang di batasi oleh kurva   y = f(x) ³ 0 ; sumbu x ; garis x = a ;  garis x = b
      Untuk  menentukan luas daerah di atas sumbu x, pertama adalah dengan menentukan batas-batasnya terlebih dahulu. Batas-batas daerah yang akan dicari luasnya kemungkinan diketahui atau kita yang mencarinya.  Jika batas-batasnya belum diketahui tapi batas-batasnya merupakan titik perpotongan kurva dengan sumbu x,kita cukup mencari akar-akar dari fungsinya. Misalnya f(x) memotong sumbu x di dua titik, jadikan dulu f(x) = 0 kemudian mencari nilai x yang memenuhi. Nilai  x tersebut dijadikan batas-batas untuk mencari luas daerahnya. Langkah kedua dengan mengintegralkan f(x) dengan batas-batasannya.    
Berikut adalah gambar dan rumus luas daerah diatas sumbu x :

a
f(x)
y
b
x
 








2.      Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = f(y) ³ 0 ; sumbu y ; garis y = c ; garis y = d
                  Untuk  menentukan luas daerah di sebelah kanan sumbu y, pertama adalah dengan menentukan batas-batasnya terlebih dahulu. Batas-batas daerah yang akan dicari luasnya kemungkinan diketahui atau kita yang mencarinya.  Jika batas-batasnya belum diketahui tapi batas-batasnya merupakan titik perpotongan kurva dengan sumbu y,kita cukup mencari akar-akar dari fungsinya. Misalnya f(y) memotong sumbu y di dua titik, jadikan dulu f(y) = 0 kemudian mencari nilai y yang memenuhi. Nilai  y tersebut dijadikan batas-batas untuk mencari luas daerahnya. Langkah kedua dengan mengintegralkan f(y) dengan batas-batasannya. Berikut adalah gambar dan rumus luas daerah disebelah kanan sumbu y :
c
g(y)
y
d
x
 


                                          Rumus:





3.      Luas daerah yang di batasi oleh kurva   y = f(x) £ 0 ; sumbu x ;  garis x = a  ;  garis x = b.
      Langkah untuk menentukan luas daerah kurva yang berada dibawah sumbu x  mirip dengan langkah untuk menentukan luas daerah kurva di atas sumbu x. Hanya disini bila kita menyelesaikan integralnya, kita akan mendapatkan nilai negatif. Tanda negatif ini diperoleh berdasarkan defenisi integral tentu untuk fungsi dengan kurva dibawah sumbu x. Yang kita butuhkan adalah nilai mutlak dari hasil integral yang kita dapatkan. Agar nilai integralnya positif, di awal penyelesaian integral, kita cantumkan tanda negatif agar hasil akhirnya menjadi tanda positif. Berikut adalah gambar dan rumus luas daerah dibawah sumbu x :
a
f(x)
y
b
x
y
 









4.      Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = f(y) £ 0 ; sumbu y ; garis y = c ;  garis y = d
                  Untuk  menentukan luas daerah di sebelah kiri sumbu y, pertama adalah dengan menentukan batas-batasnya terlebih dahulu. Batas-batas daerah yang akan dicari luasnya kemungkinan diketahui atau kita yang mencarinya.  Jika batas-batasnya belum diketahui tapi batas-batasnya merupakan titik perpotongan kurva dengan sumbu y,kita cukup mencari akar-akar dari fungsinya. Misalnya f(y) memotong sumbu y di dua titik, jadikan dulu f(y) = 0 kemudian mencari nilai y yang memenuhi. Nilai  y tersebut dijadikan batas-batas untuk mencari luas daerahnya. Langkah kedua dengan mengintegralkan f(y) dengan batas-batasannya. Berikut adalah gambar dan rumus luas daerah disebelah kiri sumbu y :


g(y)
y
x
d
c
     Rumus:






5.      Jika  y = f(x)  pada interval a < x < b grafiknya memotong sumbu x,  maka luasnya merupakan jumlah dari beberapa integral tertentu.
Berikut adalah gambar dan rumus luas daerah pada interval a < x < b grafiknya memotong sumbu x :
y = f(x)
x
y
a
b
c
 









6.      Luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva kurva y = f1(x); y = f2(x)  ; garis x = a ; garis x = b.
secara umum penyelesaian luas daerah dengan menggunakan integral tertentu selalu melibatkan batas. Batas-batas ada yang diketahui dan ada juga yang perlu dicari terlebih dahulu. Untuk mencari luas daerah antara dua kurva juga begitu. Pertama kita harus mencari batas-batas integralnya. Jika sudah diketahui kita tinggal menggunakan batas atas dan batas bawah untuk menyelesaikan integralnya. Jika belum diketahui biasanya dua kurvanya berpotongan didua titik. Batas-batasnya merupakan titik potong kedua kurva tersebut. Untuk mencari perpotongannya, buat dahulu persamaan f1(x) = f2(x) kemudian cari akar dari persamaan kuadrat tersebut. Integral yang digunakan untuk mencari luas antara dua kurva adalah pengurangan fungsi yang terletak diatas dengan kurva yang terletak di bawahnya [ f1(x) – f2(x) ]. Jika sulit menentukan kurva mana yang di atas mana yang di bawah cukup dengan membuat garis vertikal yang memotong kedua kurva tersebut. Kurva yang memotong garis di atas berarti kurva atasnya, begitupun dengan kurva yang memotong garis vertikal di bawah, itulah kurva bawahnya. Berikut ini gambar dan rumus luas daerah diantara dua kurva :
y
y = f1(x)
y = f2(x)
a
b
x
 








7.      Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f1(x) ; y = f2(x) yang berpotongan pada titik yang berabsis a dan b.
Berikut ini gambar dan rumus luas yang dibatasi oleh kurva y = f1(x) ; y = f2(x) yang berpotongan pada titik yang berabsis a dan b.
 
y = f2(x)
y = f1(x)
x
b
a
 





8.      Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f1(x); dan garis y = f2(x) berpotongan pada titik yang berabsis a.

Berikut ini gambar dan rumus luas yang dibatasi oleh kurva y = f1(x); dan garis y = f2(x) berpotongan pada titik yang berabsis a :
y
y = f1(x)
y = f2(x)
a
b
x
 









C. Contoh-contoh Perhitungan
Contoh 1 :
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh: , sumbu x dan sumbu y.
Jawab:
Melukis kurva:
titik potong dengan sumbu x,  y = 0 
→ (2, 0)
 titik potong dengan sumbu y, x = 0    (0, 4) 


2
4

Jika memperhatikan daerah yang diminta, maka luas daerahnya bisa dihitung sebagai -berikut : 
 






 
                      
                        satuan luas
atau
dengan rumus lain dengan mengubah bentuk fungsinya,
 
 dan batasnya 0 s.d 4
 
                          
                            satuan luas

Contoh 2:
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y1 = x2  dan garis y2 = 2 - x
Jawab :
a.   Gambar daerahnya
b.   Tentukan titik potong kedua kurva     y1 = y2     x2 = 2 – x    x2 + x – 2 = 0 → (x + 2)(x – 1) = 0 diperoleh x = -2 dan x = 1, maka batas daerahnya dari -2 s.d  1
0
x
1
2
-1
-2
-3
2
y
1
3
4
 
               




Rumus luas yang dipakai
       
C.   Menghitung luasnya :
        
    
    
     = 4 ½  satuan luas


Contoh 3:
Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva y2 = x, garis x + y = 6, dan sumbu x
Jawab :
a.       Gambar daerahnya
b.      Tentukan titik potong kedua kurva
       x1 = x2     y2 = 6 – y   ®   y2 + y – 6 = 0
      ® (y + 3)(y – 2) = 0 
2
y
6
x
0
6
            Diperoleh:   y = - 3 dan y = 2






c.       Rumus luas yang dipakai
         
d.      Menghitung luasnya :
     
     
       =  satuan luas

BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Dari pembahasan yang telah diuraikan, dapat disimpulkan bahwa dalam menentukan luas  bidang datar  tidak beraturan yang dibatasi kurva kita dapat menggunakan  integral tentu .
Berikut beberapa kemungkinan kurva yang akan dicari luas daerahnya ;
1.      Luas daerah yang di batasi oleh kurva   y = f(x) ³ 0 ; sumbu x ; garis x = a ;  garis x = b

2.      Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = f(y) ³ 0 ; sumbu y ; garis y = c ; garis y = d

3.      Luas daerah yang di batasi oleh kurva   y = f(x) £ 0 ; sumbu x ;  garis x = a  ;  garis x = b
4.      Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = f(y) £ 0 ; sumbu y ; garis y = c ;  garis y = d

5.      Jika   y = f(x)  pada interval a < x < b grafiknya memotong sumbu x

6.      Luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva kurva y = f1(x); y = f2(x)  ; garis x = a ; garis x = b

7.      Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f1(x) ; y = f2(x) yang berpotongan pada titik yang berabsis a dan b.
 

8.      Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f1(x); dan garis y = f2(x) berpotongan pada titik yang berabsis a.


B. Saran
Dalam penulisan karya tulis ini, penulis hanya membatasi pembahasan pada menentukan luas  bidang datar  tidak beraturan yang dibatasi kurva dengan integral tentu. Namun dalam tulisan ini penulis belum menjabarkan mengenai mencari volume dengan menggunakan integral tentu, sehingga penulis menyarankan bagi penulis pustaka berikutnya untuk mengangkat pembahasan mengenai mencari volume dengan menggunakan integral tentu.





DAFTAR PUSTAKA
Integral. 2002 (Oktober). Majalah Ilmiah Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam . Vol 7 no. 2 : 70-77.
Varberg, Purcell, Rigdon. 2003. Kalkulus Edisi ke-8. Bandung : Erlangga.
Wirodikromo, Sartono. 2006. Matematika Untuk SMA Kelas XII. Jakarta :
Erlangga.









Tidak ada komentar:

Poskan Komentar